動(dòng)態(tài)光散射檢測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速的互信息函數(shù)分析

王沙,楊志安，任中京

(濟(jì)南大學(xué)理學(xué)院，濟(jì)南250022)

摘要：通過計(jì)算互信息函數(shù),對(duì)動(dòng)態(tài)光散射得到的電機(jī)轉(zhuǎn)速的時(shí)間序列進(jìn)行了分析。研究表明，互信息函數(shù)法能 準(zhǔn)確地測(cè)出電機(jī)轉(zhuǎn)速。同時(shí)，由于互信息函數(shù)自身的優(yōu)點(diǎn)-一能實(shí)際地反映出數(shù)據(jù)之間的相互關(guān)聯(lián)，因此,與自相關(guān)函 數(shù)法比較,互信息函數(shù)法可反映出更多的動(dòng)力學(xué)信息。對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的時(shí)間序列作了二維的相空間重構(gòu),從重構(gòu)圖形發(fā)現(xiàn) 系統(tǒng)有2周期行為,并呈現(xiàn)有一些新現(xiàn)象。

 關(guān)鍵詞：光學(xué)測(cè)量;互信息函數(shù)；動(dòng)態(tài)光散射；自相關(guān)函數(shù)；相空間重構(gòu)

1引言

本文利用互信息函數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)光散射法測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn) 速的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了研究，準(zhǔn)確測(cè)出了電機(jī)的轉(zhuǎn)速。本 文對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的時(shí)間序列作了二維的相空間重構(gòu)， 發(fā)現(xiàn)了一些新的現(xiàn)象并進(jìn)行了討論。這些結(jié)果是以 往自相關(guān)函數(shù)法^[1]分析中所沒有的，文中比較了互 信息函數(shù)法與自相關(guān)函數(shù)法^[2]兩種方法的優(yōu)劣。

2原理

按Shannon的信息理論，設(shè)S表示一組訊號(hào)為 S1 , S2 ,…，Sn的系統(tǒng),出現(xiàn)Si的概率是P_s⁽nJ , i = 1, 2,, n。對(duì)另一組訊號(hào)為q , qi,  qn的系統(tǒng)Q ,出 現(xiàn)qj的概率是Pq(qj) ,j = 1 ，2 ， n。q同時(shí)出 現(xiàn)的概率是Psq (Si, qj)?；バ畔⒌亩x為：

I(S, Q)度量的是變量S與Q之間的一般性關(guān)聯(lián)程 度,或比值P_sq(Si, qj) / P_s(Si) P_q(qj)的整體不平整 程度?；バ畔⒃酱?/span>，變量S與Q之間的關(guān)聯(lián)程度越強(qiáng)，系統(tǒng)的不平整程度越高，系統(tǒng)越不均勻；互信息 越小，變量S與Q之間的關(guān)聯(lián)程度越弱，系統(tǒng)的不 平整程度越低,系統(tǒng)越均勻。

在光子互信息法檢測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速的實(shí)驗(yàn)研究中， 主要關(guān)心的是測(cè)量數(shù)據(jù)隨延遲時(shí)間T的周期性，從 而得出電機(jī)的轉(zhuǎn)速。在計(jì)算中對(duì)某給定的延遲時(shí)間 T，令[s, q] = [x (t) , x (t + T)],這時(shí)互信息 I 是 延遲時(shí)間T的函數(shù)。

因?yàn)殡姍C(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)是周期性的動(dòng)力系統(tǒng)，其狀態(tài)隨 時(shí)間的演化可表示成s = x(T) = sint,則延遲坐標(biāo)可表示成q = x (t + T) = sin(t + T) ，其中T是延遲時(shí)間。當(dāng)延遲Ti = 0時(shí),q = x (t + T) = sin(t + 0) = sin t，這時(shí)s與q是同一變量,s與q間的關(guān)聯(lián)zui 強(qiáng),這時(shí)I( Ti；取極大值。設(shè)系統(tǒng)周期是r,當(dāng)h = t 時(shí),q = x (t + t) = sin (t + t) = sin t,使互信肩、 I(T2)又取極大值,則兩個(gè)極大點(diǎn)之差乃Ti = t 即為系統(tǒng)的周期。所以只要找出互信息I的兩個(gè)相 鄰極大值所對(duì)應(yīng)的極大點(diǎn)Ti和T2 ,其差值丁 = T2 -Ti就是系統(tǒng)的周期。當(dāng)周期t確定后，就可求出 轉(zhuǎn)速。另外利用由互信息I( T)的極大值來確定周 期,易于辨別和計(jì)算。

3互信息的計(jì)算。

互信息I(S , Q)的計(jì)算可用等間距劃分空間格子的方法進(jìn)行：由給定的延遲時(shí)間T得到(s’q)，作出（s , q)平面，在(s’q)平面上重構(gòu)出圖形（例如 后面的重構(gòu)圖7) ，再在圖形上對(duì)欲求互信息I(S ， Q)所需的點(diǎn)集區(qū)域劃出矩形框A。設(shè)^是A在s方 向的長(zhǎng)度,Aq是A在q方向的長(zhǎng)度，然后把A再等間 距地劃分成小格子e。方向小格子的長(zhǎng)度記為&_s’s 方向小格子的數(shù)目為M，所以As = Me_s。同理,q方 向小格子的長(zhǎng)度記為eq, q方向小格子的數(shù)目為M^f，則A = M,e_q。在A中小格子e的總數(shù)為M X m'。 設(shè)⁽a ， b)是所劃格子A的起始點(diǎn)，對(duì)米樣點(diǎn)(s，q) 作下述判斷：

若滿足

表明(s，q)在小格子ei中就進(jìn)行一次記錄，直到 將所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)全部搜尋一遍，記錄落入標(biāo)號(hào)為(i ’ j)的小格中所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)同時(shí)記錄落入范圍 在i - 1到i內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N_s,和從j - 1到j內(nèi)的點(diǎn)數(shù) Nq,即可得到，P_sq (si ’ qj) = Nsq/ Ntotal ， Ps (si)= Ns/ Ntotal ’ Pq ( qj) = Nq/ Ntotal ’ 其中 Ntotal 是全部采 樣點(diǎn)數(shù)。將Psq、q代入公式（1) 就可求出在給 定延遲時(shí)間T值下的互信息值I(S ’ Q) ^[47]。

在測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速的實(shí)驗(yàn)中，由于電機(jī)所帶動(dòng)的轉(zhuǎn) 動(dòng)圓盤不是*均勻的，在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，從其上面 散射的光就會(huì)呈現(xiàn)周期性。我們首先用探測(cè)器來接 收這些散射光，得到散射光的時(shí)間序列；其次編制出 計(jì)算互信息的程序，計(jì)算出給定延遲時(shí)間T值下的

互信息值I( T) ，得出互信息函數(shù)曲線;zui后利用互 信息函數(shù)曲線，求出轉(zhuǎn)動(dòng)的周期性，從而求出轉(zhuǎn)速。

4實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖1所示。

圖1實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

取樣點(diǎn)處的光子數(shù)隨時(shí)間的變化

圖3對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的互 信息處理（I-t圖）

用直流電 動(dòng)機(jī)帶動(dòng)圓盤 轉(zhuǎn)動(dòng)，電機(jī)轉(zhuǎn)速 可調(diào)。圓盤散 射的光經(jīng)過兩 個(gè)光闌及透鏡圖2 的會(huì)聚由光電 倍增管接收,:，

把光電數(shù)字信 號(hào)進(jìn)行互信息 處理，就得出互 信息曲線。

在一定的 測(cè)量時(shí)間內(nèi)，米 集的光子數(shù)隨

時(shí)間變化的曲線如圖2所示。從圖3可以看出互信息處理周期變化的信號(hào)顯現(xiàn)了出來。

5由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算電機(jī)轉(zhuǎn)速

對(duì)電機(jī)施加不同電壓’電機(jī)得到不同轉(zhuǎn)速。采集 某一轉(zhuǎn)速下隨時(shí)間變化的光子數(shù)’用自編軟件對(duì)采 集到的數(shù)據(jù)計(jì)算互信息函數(shù)。對(duì)確定的延遲時(shí)間T, 得到相應(yīng)的互信息/值/對(duì)不同的延遲時(shí)間r,得到 不同的互信息值，可得到互信息的函數(shù)曲線。分析互信息函數(shù)欠曲線的周期特性，可計(jì)算出相應(yīng)的轉(zhuǎn)速。

對(duì)一組數(shù)據(jù)的互信息曲線(如圖3)進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)速計(jì)算：由互信息極大點(diǎn)可知圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)周期為25 *2ms，轉(zhuǎn)速

n =60/ (25 X2 X10"³) = 1200(r/min)

所得結(jié)果與文獻(xiàn)[2]所用的自相關(guān)函數(shù)(用R表示)

圖4同一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)圖（R-t）

見圖4)所計(jì)算出的電機(jī)轉(zhuǎn)速相同。這說明把互信 息函數(shù)法應(yīng)用于動(dòng)態(tài)光散射測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速的實(shí)驗(yàn)中， 是可行的。

6相空間時(shí)間延遲重構(gòu)原理

對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析的一個(gè)前提，是必 須有一個(gè)可用于工作的相空間。由于不知道系統(tǒng)的 動(dòng)力學(xué)方程或模型,而且從實(shí)際測(cè)量中僅能得到一 個(gè)單標(biāo)量的時(shí)間序列，因而從這個(gè)單標(biāo)量的時(shí)間序 列重構(gòu)相空間，就成為時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)之一。

相空間重構(gòu)的方法有多種，zui常用的是 Packard^[5]等人提出的時(shí)間延遲坐標(biāo)的思想，重構(gòu)出 所觀測(cè)到的動(dòng)力系統(tǒng)的相空間。他們指出，對(duì)一組 觀測(cè)標(biāo)量s (1) ,s(2) … s ( n)中的某個(gè)值s ( n) 可 得到延遲T時(shí)刻后的測(cè)量值s(n + T) ’然后使用這 種時(shí)間延遲的集合構(gòu)造出一個(gè)d維矢量

x (n) = [s (n),s (n + T) ,s (n + 2 T) , ….., x(n + (d - 1) T)]

式中T為時(shí)間延遲;d為嵌入維。相空間重構(gòu)的結(jié) 果應(yīng)保留原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)和幾何性質(zhì)，這要求 重構(gòu)變換是嵌入,這一點(diǎn)可由Takens^[6]定理保證。 這時(shí)，這個(gè)矢量包含了原始的實(shí)際變量的動(dòng)力學(xué)信息，這樣就重構(gòu)出了所需要的相空間。

7對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的二維重構(gòu)

Taken定理給出的僅是嵌入的充分條件，為了計(jì)算互信息，只需對(duì)系統(tǒng)進(jìn) 行二維重構(gòu)即 可。采集另一 轉(zhuǎn)速下電機(jī)的 一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 進(jìn)行二維重 構(gòu)，延遲時(shí)間 T從1取到 140,計(jì)算出互 信息值’相應(yīng) 的互信息函數(shù) 曲線是圖5,相 應(yīng)的自相關(guān)曲線見圖6。

從這組數(shù)據(jù)測(cè)出的電機(jī)轉(zhuǎn)速：由兩個(gè)互信息相 鄰極大值的間隔可知電機(jī)旋轉(zhuǎn)周期為13 X2ms,則 轉(zhuǎn)速 n = 60/ (13 X2 X10^-3) = 2307. 7r/min。從這 組數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)圖6可明顯看出，自相關(guān)把噪 聲抹平了，能很好地提取出系統(tǒng)的周期信號(hào)。而互 信息函數(shù)能反映出更多的動(dòng)力學(xué)信息，由于噪聲或 其他細(xì)節(jié)的干擾，周期性減弱，但仍能從兩個(gè)相鄰的 互信息極大值判斷出系統(tǒng)所具有的周期特性。

選取幾個(gè)延遲時(shí)間，做出二維重構(gòu)圖如圖7(a)- (e) 。

在T = 51 ,89兩個(gè)互信息極大點(diǎn)處作出的重構(gòu)圖[如圖7 (a) , (e)]。

圖7對(duì)一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相空間二維重構(gòu)圖

軌道基本上擠壓在主對(duì)角線上，這時(shí)失真zui大，關(guān)聯(lián)zui強(qiáng)。這個(gè)結(jié)果表明，所討 論的系統(tǒng)是確定論的系統(tǒng)。當(dāng)互信息處于相對(duì)較小值的點(diǎn)上做出的重構(gòu)圖，軌道開始展開。當(dāng)互信息取極小值時(shí)，重構(gòu)圖軌道整體展開到zui大[如圖7 (b) ,(c)]。當(dāng)T由小逐漸變大的過程中，軌道隨著互信息值的增大而展開，隨著互信息值的減小而壓縮;軌道隨著互信息值的再增大而再展開，隨著互信 息值的再減小而再壓縮，不斷重復(fù)此過程。這說明系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)有周期性,互信息函數(shù)刻畫了這種周期規(guī)律。

從圖7(b)中可以明顯看出，重構(gòu)的曲線繞了兩 圈后與自身重合，這反映了系統(tǒng)具有二周期特性，即 系統(tǒng)整體有一個(gè)大周期,里面還套著一個(gè)小周期。 這個(gè)結(jié)果表明，系統(tǒng)除了有整體的轉(zhuǎn)動(dòng)周期外，還有 因測(cè)試對(duì)象不是理想的轉(zhuǎn)動(dòng)，如電機(jī)本身的不均勻, 及測(cè)試對(duì)象不光滑，此外還有環(huán)境及噪聲等其它因 素引起的附加的周期和非周期行為。

圖7(c)的重構(gòu)圖與圖7(b)的重構(gòu)圖有明顯的 區(qū)別，圖7(b)中只有正向轉(zhuǎn)動(dòng)的行為,而圖7(c)中 除了有正向轉(zhuǎn)動(dòng)的行為外,還有逆向轉(zhuǎn)動(dòng)的部分。

另外它們的拓?fù)洳煌?，主要表現(xiàn)在圖7(c)中有兩個(gè) 交叉點(diǎn)，而圖7(b)中只有一個(gè)交叉點(diǎn)。這些結(jié)果反 映出，在電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)這一簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)中，包含有復(fù)雜的 動(dòng)力學(xué)內(nèi)容。但是這種逆向轉(zhuǎn)動(dòng)的原因，及不同的 拓?fù)渌奈锢硪饬x還不清楚，有待進(jìn)一步研究。

8總結(jié)

本文將互信息函數(shù)應(yīng)用于動(dòng)態(tài)光散射檢測(cè)電機(jī) 轉(zhuǎn)速的研究，準(zhǔn)確地測(cè)出電機(jī)轉(zhuǎn)速，這一結(jié)果與自相 關(guān)函數(shù)法的結(jié)果一致。并且互信息函數(shù)法是真正意 義上的相互關(guān)聯(lián)，可得到更多系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)信息，這 些信息常常被淹沒于噪聲中。

同時(shí)，本文將相空間二維重構(gòu)應(yīng)用于動(dòng)態(tài)光散射檢測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速的研究中，從相空間重構(gòu)圖中可以 得出許多的動(dòng)力學(xué)信息，比如系統(tǒng)的二周期性，實(shí)驗(yàn) 受外界的噪聲干擾等。這些現(xiàn)象有待進(jìn)一步研究。